期貨從業資格《投資分析》知識點：幾何布朗運動

1.幾何布朗運動的定義

幾何布朗運動(GBM) (也叫做指數布朗運動) 是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動. 幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-舒爾斯定價模型中模仿股票價格。法國數學家巴舍利耶在《投機交易理論》一文中提出股票價格遵循布朗運動。保羅·薩繆爾森1965年首次提出了股價S應遵循幾何布朗運動。

2.相關方程式

1)股價S的隨機微分方程形式為：

上式中，S表示t時刻的股價，μ、σ為常量，分別表示股票的期望收益率和波動率，Bt服從標準布朗運動。從公式可以看出，股票價格在短時期內的變動(即收益)來源于兩個方面：①短時間內的預期收益率的變化;②隨機正態波動項。

3、應用：

幾何布朗運動在布萊克-舒爾斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型。使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:

幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格(股票價格)是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的。

幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。

幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的“roughness” 。

幾何布朗運動過程計算相對簡單。.

然而，幾何布朗運動并不完全現實，尤其存在一下缺陷:

在真實股票價格中波動隨時間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。

在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分布 (真實股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動)。

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