2019年一級結構工程師《材料力學》考點：梁的內力方程

梁的內力方程，內力圖，撓度，轉角

遵守材料力學中對剪力 Q 和彎矩 M 的符號規定。

在梁的橫截面上，總是假定內力方向與規定方向一致，從統一的坐標塬點出發劃分梁的區間，且把梁的坐標塬點放在梁的左端(或右端)，使后一段的彎矩方程中總包括前面各段。

均布荷載 q、剪力Q、彎矩M、轉角θ、撓度 y 間的關系：

設坐標原點在左端，則有：

其中A、B、C、D四個積分常數由邊界條件確定。

例如，如圖示懸臂梁：

則邊界條件為：

截面法求內力方程：

內力是梁截面位置的函數，內力方程是分段函數，它們以集中力偶的作用點，分布的起始、終止點為分段點;

1) 在集中力作用處，剪力發生突變，變化值即集中力值，而彎矩不變;

2) 在集中力偶作用處，剪力不變，彎矩發生突變，變化值即集中力偶值;

3) 剪力等于脫離梁段上外力的代數和。脫離體截面以外另一端，外力的符號同剪力符號規定，其他外力與其同向則同號，反向則異號;

4) 彎矩等于脫離體上的外力、外力偶對截面形心截面形心的力矩的代數和。外力矩及外力偶的符號依彎矩符號規則確定。

梁內力及內力圖的解題步驟：

1) 建立坐標，求約束反力;

2) 劃分內力方程區段;

3) 依內力方程規律寫出內力方程;

4) 運用分布荷載q、剪力Q、彎矩M的關系作內力圖;

關系：

規定：①荷載的符號規定：分布荷載集度 q 向上為正;

②坐標軸指向規定：梁左端為塬點，x 軸向右為正。

剪力圖和彎矩圖的規定：剪力圖的 Q 軸向上為正，彎矩圖的 M 軸向下為正。

5) 作剪力圖和彎矩圖：

① 無分布荷載的梁段，剪力為常數，彎矩為斜直線;Q>0，M圖有正斜率(﹨);Q<0，有負斜率(/);

② 有分布荷載的梁段(設為常數)，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為拋物線;q<0，Q圖有負斜率(﹨)，M 圖下凹(︶);q>0，Q圖有正斜率(/)，M圖上凸(︵);

③ Q=0的截面，彎矩可為極值;

④ 集中力作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力之值，此處彎矩圖的斜率也突變，彎矩圖有尖角;

⑤ 集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變值為力偶之矩;

⑥ 在剪力為零，剪力改變符號，和集中力偶作用的截面(包括梁固定端截面)，確定最大彎矩;

⑦ 指定截面上的剪力等于前一截面的剪力與該兩截面間分布荷載圖面積值的和;指定截面積上的彎矩等于前一截面的彎矩與該兩截面間剪力圖面積值的和。

共軛梁法求梁的轉角和撓度：

要領和注意事項：

1) 首先根據實梁的支承情況，確定虛梁的支承情況

2) 繪出實梁的彎矩圖，作為虛梁的分布荷載圖。特別注意：實梁的彎矩為正時，虛分布荷載方向向上;反之，則向下。

4) 由于實梁彎矩圖多為叁角形、矩形、二次拋物線和叁次拋物線等。計算時需要這些圖形的面積和形心位置。

疊加法求梁的轉角和撓度：

各荷載對梁的變形的影響是獨立的。當梁同時受n種荷載作用時，任一截面的轉角和撓度可根據線性關系的疊加塬理，等于荷載單獨作用時該截面的轉角或撓度的代數和。